.png)
Matematika Diskrit : Graf
“Graf”
Yo sobat Mahasiswa, mari kita simak materi matematika diskrit yaitu "graf". Silahkan juga lihat postingan-postingan yang ada sebelumnya.
1. Definisi Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:
V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v1 , v2 , ..., vn }.
E =himpunan busur/sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul={e1 , e2 , ... , en }.
Contoh :
G1 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (1, 3), (2,3), (2, 4), (3, 4) }
Contoh :
G2 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
2. Jenis – Jenis Graf Dasar
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:
Graf sederhana (simple graph)
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
Graf tak-sederhana (unsimple-graph).
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph).
Contoh :
3. Jenis-Jenis Graf berdasarkan orientasi arah
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah dan tidak memiliki sisi ganda.
4. Terminologi Graf
Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Contoh:
Tinjau graf G1 :
simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3.
simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan ebersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan simpul vk
Contoh:
Tinjau graf G1:
sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3.
sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Contoh:
Tinjau graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil.
Graf kosong (null graph atau empty graph)
Graf yang himpunan busurnya merupakan himpunan kosong (Nn).
e. Derejat (Degree)
Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi yang digunakan :d(v)
Contoh:
d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Derajat Graf Berarah
Pada sebuah graf berarah maka
dmasuk(v)c = derajat-masuk = jumlah busur yang masuk ke simpul v
dkeluar(v)c = derajat-keluar = jumlah busur yang keluar dari simpul v
d(v) = dmasuk(v) + dkeluar(v)
Lemma Jabat Tangan
Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah busur pada graf tersebut.
Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka:
Contoh:
Tinjau graf G1:
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10
5. Lintasan
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn didalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,..., vn 1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.
Contoh:
Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3). Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.
Pada prinsipnya simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Sebuah lintasan dikatakan Lintasan Sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan Tertutup (close path). Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path). Coba perhatikan pada G1 lintasan:
· 1,2,4,3 : lintasan sederhana dan lintasan terbuka
· 1,2,4,3,1 : lintasan sederhana dan lintasan tertutup
· 1,2,4,3,2 : bukan lintasan sedernana tetapi lintasan terbuka
6. Sirkuit
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Coba kita tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3
7. SubGraf dan Komplemen
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf G1 =(V1, E1)adalah SubGraf dari G jika V1 Í V dan E1 Í E. Komplemen dari SubGr G1 terhadap graf G adalahgraf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E E1 dan V2 adalah himpunan simpulyang anggotaanggota E2 bersisian dengannya.
Contoh:
Perhatikan Graf G1
Graf G1 SubGraf G1 bukan Subgraf G1
Sub Graf Rentang
SubGraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan SubGraf rentang jika V1=V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).
Cut-set
Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.
Contoh:
Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set, {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.
Graf Berbobot
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot
Contoh:
8. Lintasan dan Sirkuit
Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).
Lintasan dan Sirkuit Euler Pada Graf Tidak Berarah
Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika
· Terhubung
· Memiliki dua buah simpul berderajat ganjil
· atau setiap simpul berderajat genap
Graf tidak berarah G memiliki sirkuit Euler (Graf Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
Contoh:
Jika diketahui Graf berikut ini
Maka lintasan Eulernya adalah
a. 3, 1, 2, 3, 4, 1
b. 1, 3, 2, 1, 4, 3
Sebagai catatan Graf tersebut memiliki 2 buah simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 3)
9. Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan Graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut Graf Semi-Hamilton.
(a) (b) (c)
Perhatikan pada Gambar di atas bahwa Graf:
a. graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)
b. graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)
c. graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
Sekian dari postingan blog kali ini. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi sobat baik untuk mengerjakan tugas, menambah ilmu, maupun untuk sekedar menambah wawasan untuk media pembelajaran matematika diskrit.
Sekian dari postingan blog kali ini. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi sobat baik untuk mengerjakan tugas, menambah ilmu, maupun untuk sekedar menambah wawasan untuk media pembelajaran matematika diskrit.
